На главную страницу НМУ

Алексей Викторович Пенской

Дифференциальная геометрия


Лекции будут читаться дистанционно по вторникам с 17:30, начиная с 8 февраля.

Для включения в рассылку материалов курса и получения ссылки для подключения к трансляции в зуме надо написать лектору (alexei ТОЧКА penskoi АТ gmail ТОЧКА com).

Видеозаписи лекций курса

Листки

[ листок 1 | листок 2 | листок 3 | листок 4]
[ листок 5 | листок 6 | листок 7 | листок 8 ]

Программа курса

  • Кривые в плоскости и в пространстве. Кривизна, кручение, репер Френе.

  • Поверхности в трехмерном пространстве. Первая и вторая квадратичные формы. Главные кривизны, средняя и гауссова кривизна. Нормаль средней кривизны. Формула Эйлера для кривизны нормального сечения.

  • Поверхности в n-мерном евклидовом пространстве. Первая и вторая квадратичные формы. Связности в касательном и нормальном расслоениях к поверхности. Вторая квадратичная форма и оператор Вейнгартена. Деривационные уравнения Гаусса-Вейнгартена. Теорема Гаусса-Бонне для поверхностей.

  • Векторные расслоения. Склеивающие коциклы. Структурная группа. Евклидовы и эрмитовы расслоения. Естественные операции с расслоениями. Ориентируемые расслоения.

  • Связности в векторных расслоениях. Локальное задание связности: локальная форма связности, символы Кристоффеля. Кривизна. Связности в евклидовых и эрмитовых расслоениях. Связности, согласованные с метрикой и их кривизна.

  • Связности в главных расслоениях.

  • Римановы многообразия. Кручение, кривизна. Связность Леви-Чивиты. Симметрии тензора кривизны. Тензор Риччи. Скалярная кривизна.

  • Римановы многообразия II. Геодезические. Геодезические координаты. Лагранжево описание геодезических. Вторая вариация.

  • Подмногообразия римановых многообразий. Первая и вторая квадратичные формы.

  • Оператор Лапласа-Бельтрами на римановых многообразиях, минимальные подмногообразия и связь между ними.

  • Характеристические классы. Конструкция Чженя-Вейля характеристических классов. Классы Чженя, Понтрягина и Эйлера и их свойства. Характер Чженя и его свойства.

  • Расслоения и когомологии их тотальных пространств. Класс Тома. Конструкция класса Тома по Матаи-Квиллену. Связь класса Тома и класса Эйлера. Теорема Гаусса-Бонне в произвольной размерности.