Евгений Юрьевич Смирнов

Симметрические функции

Спецкурс рекомендован для 2-5 курсов.
Читается по понедельникам с 17:30, ОЧНО в ауд.303. Начало 14 февраля.

Видеозаписи лекций курса

Программа курса

Симметрические многочлены. Элементарные симметрические многочлены, полные симметрические многочлены, двойственность. Многочлены Шура. Симметрические функции.

Комбинаторное описание многочленов Шура. Диаграммы Юнга, стандартные таблицы Юнга. Формулы Якоби-Труди. Формулы Пьери.

Числа Костки. Произведение и детерминант Коши. Скалярное произведение, ортогональность.

Массивы (по Данилову и Кошевому). Операции над массивами, уплотнение. Соответствие РСК. Правило Литтлвуда-Ричардсона.

Приложения к теории представлений: представления симметрической группы. Формула Фробениуса для характера, связь с многочленами Шура. Правило ветвления. Правило Мурнагана--Накаямы.

Приложения к теории представлений (2): многочлены Шура как характеры представлений полной линейной группы. Разложение тензорных произведений.

(если останется время) q-аналоги симметрических функций. Многочлены Костки-Фулкса, функции Холла-Литтлвуда.

(если останется время) Многочлены Шуберта. Формула Шевалле-Монка, формула перехода Ласку, теорема Кириллова-Фомина. Спецкурс рассчитан на студентов 2-4 курса. Требуется хорошо знать алгебру; желательно владеть основными понятиями теории представлений конечных групп. Знакомство с теорией представлений групп и алгебр Ли также полезно, хотя и необязательно.