На главную страницу НМУ

Андрей Рябичев

Топология-1

Лекции читаются очно по вторникам, в 17:30 в аудитории 401 и транслируются на YouTube.

Чтобы сдать курс, нужно получить зачёт и написать экзамен. Это независимые мероприятия, можно писать экзамен, ещё не получив зачёт (но в случае лишь успеха на экзамене курс не будет считаться сданным).

Для получения зачёта необходимо сдать хотя бы X% задач из Y% листков, где X+Y=150 (вот кондуит). Задачи и листки со звёздочкой считаются сверх ста процентов.
Экзамен по курсу состоится в конце семестра, информация о дате экзамена появится позже.
По всем вопросам можете писать на почту ryabichev@179.ru

Задачи курса можно сдавать по вторникам с 19:20 до 21:00 в дискорде https://discord.gg/f4MWFKxXdK

Также можно пробовать договариваться с ассистентами о сдаче в другое время:
Гоша Тарасов tg @ol_dang
Матвей Сергеев tg @MattSergeev
Слава Кривороль tg @SlavaKrivorol
Анастасия Вахрина tg @hatuada

Лекции и задачи

Обратите внимание: в старых условиях задач могут исправляться опечатки

28 марта состоится лекция 8. При помощи леммы о накрывающей гомотопии мы научимся различать гомотопические классы отображений из окружности в окружность. Также, насколько позволит время, мы поговорим про накрытия и фундаментальную группу.

21 мартта, лекция 7 (видео). В первой части мы обсудили понятие ретракции. Во второй части мы доказали лемму о поднятии пути и лемму о поднятии гомотопии.

14 марта, лекция 6 (видео). Мы ещё немного пообсуждали топологии на пространстве отображений. Далее мы определили понятия гомотопии отображения и гомотопической эквивалентности пространств. Задачи к лекции 6.

7 марта, лекция 5 (видео). Мы обсудили разные способы ввести топологию на множестве непрерывных отображений между фиксированными пространствами. Задачи к лекциям 4 и 5.

28 февраля, лекция 4 (видео). Мы доказали теорему Гейне-Бореля, устанавливающую эквивалентность между понятиями компактности и секвенциальной компактности метрических пространств. Также мы определили произведение для бесконечного числа топологических пространств.

21 февраля, лекция 3 (видео). Мы определили операции надстройки и джойна. Затем обсудили понятия связности и линейной связности пространства. В конце мы быстро сформулировали и даже успели доказать ряд свойств компактных пространств (самое важное из которых — что непрерывная биекция из компакта в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом). Задачи к лекции 3.

14 февраля, лекция 2 (видео). В начале лекции мы поговорили про непрерывные отображения между подмножествами евклидова пространства и про разные топологии на одном и том же множестве. Затем мы обсудили понятие фактортопологии и разобрали ряд важных примеров. В конце был намечен план доказательства леммы Урысона. Задачи к лекции 2.

7 февраля, лекция 1 (видео). Мы обсудили, как метрика задаёт топологию и что такое топология без метрики. Разобрали самые простые примеры топологий и операций с ними. Задачи к лекции 1.

Программа курса

1. Общая топология: топологические постранства, база, хаусдорфовость, компактность, связность и линейная связность, гомеоморфизмы. Открыто-компактная топология*.

2. Операции над пространствами: индуцированная топология, фактортопология, произведение, надстройка, джойн, смэш, цилиндр и конус отображения.

3. Гомотопии, гомотопическая эквивалентность. Гомотопическая категория. Изотопии*.

4. Фундаментальная группа, функториальность, зависимость от отмеченной точки. Фундаментальная группа окружности, теорема Брауэра.

5. Накрытия: теорема о накрывающей гомотопии, универсальное накрытие, связь с фундаментальной группой.

6. Триангуляции и CW-комплексы (клеточные пространства), теорема Борсука (корасслоения), теорема о клеточной аппроксимации.

7. Фундаментальная группа клеточного пространства, задание групп образующими и соотношениями, теорема Ван Кампена.

8. * Гомотопические группы: n-я гомотопическая группа n-мерной сферы, n-связность клеточного комплекса, слабая эквивалентность и теорема Уайтхеда.

9. * Относительные гомотопические группы. Расслоения, расслоения в смысле Серра, точная последовательность расслоения.

Литература