Семинар проходит по понедельникам 17:30-19:10, ОЧНО в ауд.310 и дистанционно.
Следующее заседание - 15 мая.
15 апреля 2024 (понедельник), 17:30, ОЧНО в ауд.304 и
дистанционно.
Докладчик: Всеволод Александрович Лежнев
Тема: Когомологическая жёсткость торических многообразий над усечёнными кубами
Аннотация:
Рассмотрим полное неособое торическое многообразие 𝑉 . Будем говорить, что 𝑉 над многогранником 𝑃 , если пространство орбит по действию компактного тора гомеоморфно 𝑃 как многообразие с углами. В докладе будет приведена гладкая классификация торических многообразий над vc(𝐼^3), где vc(𝐼^3) - многогранник, получаемый усечением одной вершины куба. Для такого семейства торических многообразий верна гипотеза о когомологической жесткости, а именно: два торических многообразия над vc(𝐼^3) диффеоморфны, тогда и только тогда, когда их кольца когомологий изоморфны как градуированные кольца.
8 апреля 2024 (понедельник), 17:30, ОЧНО в ауд.304 и
дистанционно.
Докладчик: Дина Валерьевна Чепакова
Тема: Когомологическая жёсткость гиперболических многообразий, задаваемых шахматными раскрасками идеальных прямоугольных многогранников
Аннотация:
В докладе будут рассмотрены гиперболические многообразия, задаваемые прямоугольными многогранниками в пространстве Лобачевского и их правильной раскраской в k цветов. Такие многообразия, получаемые склейкой 2^k многогранников, деформационно ретрагируются на факторпространства вещественных момент-угол-комплексов по свободному действию коммутирующих инволюций (вещественные торические пространства). Будет приведено описание колец когомологий вещественных торических пространств. Основной результат - когомологическая жесткость малых накрытий (многообразий, соответствующих минимальному возможному количеству цветов в раскраске) над трехмерными идеальными прямоугольными многогранниками. А именно, доказано, что из изоморфности колец Z_2-когомологий двух малых накрытий над многогранниками этого класса следует комбинаторная эквивалентность самих многогранников.
1 апреля 2024 (понедельник), 17:30, ОЧНО в ауд.304 и
дистанционно.
Докладчик: Всеволод Аркадьевич Триль
Тема: Конфигурации диагональных подпространств и клеточные (ко)цепи пермутоэдра
Аннотация:
В докладе будет построена гомотопическая эквивалентность дополнения к вещественной диагональной конфигурации и подкомплекса в пермутоэдре. Также будет доказан аддитивный изоморфизм клеточных коцепей полученного комплекса и компоненты в бар-конструкции внешней алгебры Стенли–Райснера. Затем мы обсудим коумножение на клеточных цепях пермутоэдра, построенное в работе Санеблидзе–Умбле.
25 марта 2024 (понедельник), 17:30, ОЧНО в ауд.304 и
дистанционно.
Докладчик: Фёдор Евгеньевич Вылегжанин
Тема: Гомологии петель момент-угол комплексов во флаговом случае
Аннотация:
Пусть K — флаговый симплициальный комплекс. Тогда алгебра гомологий петель момент-угол комплекса ZK вкладывается как "коммутаторная подалгебра" в хорошо известную частично коммутативную алгебру (граф-произведение внешних алгебр от одной образующей).
Мы обсудим, как построить копредставление этой подалгебры с помощью техники, введённой в предыдущем докладе. Также планируется рассмотреть обобщение этого подхода на случай частичных факторов.
18 марта 2024 (понедельник), 17:30, ОЧНО в ауд.304 и
дистанционно.
Докладчик: Фёдор Евгеньевич Вылегжанин
Тема: Копредставления связных градуированных алгебр
Аннотация:
Градуированная k-алгебра связна, если все элементы, не пропорциональные 1, имеют положительную степень. Такие алгебры можно задавать мультипликативными образующими и соотношениями положительной степени. В докладе будет изложена связь образующих и соотношений с функторами Tor_1(k,k) и Tor_2(k,k) и с циклами в бар-конструкции.
Также планируется обсудить коммутаторные тождества, возникающие при описании алгебр Понтрягина момент-угол комплексов.
11 марта 2024 (понедельник), 17:30, ОЧНО в ауд.304 и
дистанционно.
Докладчик: Михаил Николаевич Шенгелия
Тема: Автоморфизмы торических многообразий. Часть 2
Аннотация:
Доклад будет посвящён описанию автоморфизмов полных симплициальных торических многообразий. Для работы с торическими многообразиями и их иррациональными аналогами оказывается удобна так называемая фактор-конструкция Кокса, согласно которой всякое симплициальное торическое многообразие X есть геометрический фактор открытого по Зарискому подмножества аффинного пространства ("универсального торсора") по действию некоторой замкнутой подгруппы G в алгебраическом торе. Всякий автоморфизм торсора, переставляющий орбиты действия группы G, индуцирует автоморфизм многообразия X. Оказывается, что верно и обратное: все автоморфизмы X поднимаются до автоморфизма торсора. Планируется сделать акцент на доказательстве этого факта, следуя статье Дэвида Кокса ,,The Homogeneous Coordinate Ring of a Toric Variety''. Ожидается, что аналогичные рассуждения с использованием должным образом обобщённых алгебро-геометрических понятий окажутся применимы к случаю (уже не алгебраических) многообразий, задаваемых иррациональными веерами.
4 марта 2024 (понедельник), 17:30, ОЧНО в ауд.310 и
дистанционно.
Докладчик: Михаил Николаевич Шенгелия
Тема: Автоморфизмы торических многообразий
Аннотация:
Доклад будет посвящён описанию автоморфизмов полных симплициальных торических многообразий. Для работы с торическими многообразиями и их иррациональными аналогами оказывается удобна так называемая фактор-конструкция Кокса, согласно которой всякое симплициальное торическое многообразие X есть геометрический фактор открытого по Зарискому подмножества аффинного пространства ("универсального торсора") по действию некоторой замкнутой подгруппы G в алгебраическом торе. Всякий автоморфизм торсора, переставляющий орбиты действия группы G, индуцирует автоморфизм многообразия X. Оказывается, что верно и обратное: все автоморфизмы X поднимаются до автоморфизма торсора. Планируется сделать акцент на доказательстве этого факта, следуя статье Дэвида Кокса ,,The Homogeneous Coordinate Ring of a Toric Variety''. Ожидается, что аналогичные рассуждения с использованием должным образом обобщённых алгебро-геометрических понятий окажутся применимы к случаю (уже не алгебраических) многообразий, задаваемых иррациональными веерами.
26 февраля 2024 (понедельник), 17:30, ОЧНО в ауд.310 и
дистанционно.
Докладчик: Георгий Сергеевич Черных
Тема: Алгебра Ландвебера-Новикова
Аннотация:
В этом общеобразовательном докладе я расскажу про алгебру когомологических операций в комплексных кобордизмах - алгебру Ланлвебера-Новикова. Планирую рассказать о том, как она устроена, какая связь между двойственной коалгеброй и формальными группами, а также про некоторые конкретные операции: операции типа Адамса в кобордизмах, мультипликативные проекторы и некоторые SU-линейные операции.
19 февраля 2024 (понедельник), 17:30, ОЧНО в ауд.310 и
дистанционно.
Докладчик: Пётр Григорьевич Балабанов
Тема: Высшие операции и двойные когомологии момент-угол комплексов
Аннотация:
В статье Amellote, Briggs(arXiv:2304.08476) были описаны высшие когомологические операции в кольце когомологий момент-угол комплекса, которые связаны со стрелками в спектральной последовательности Майера-Виеториса. В статье Limonchenko, Panov, Song, Stanley(arXiv:2112.07004) про двойные когомологии HH*(Z_K) описана спектральная последовательность бикомплекса для Z_K. Я расскажу про результаты этих статей, а так же о том, как высшие операции из первой статьи могут быть связаны со спектральной последовательностью из второй.
11 декабря 2023 (понедельник), 17:30, ОЧНО в ауд.310 и
дистанционно.
Докладчик: Дмитрий Александрович Цыганков
Тема: Гиперболические многообразия, соответствующие прямоугольным многогранникам, и их расслоения над окружностью
Аннотация:
Известен результат Столлингса о расслоении 3-многообразий над окружностью: если компактное неприводимое 3-многообразие M, фундаментальная группа которого допускает сюръективный гомоморфизм Pi_1(M)->Z, ядро которого конечнопорождено и отлично от Z_2, то M расслаивается над окружностью. Я расскажу про гиперболические многообразия конечного объёма, которые получаются склейкой прямоугольных многогранников Коксетера конечного объёма. Некоторые из этих многообразий допускают расслоение над окружностью: известны примеры в размерностях 3 и 5. Если останется время, расскажу о том, что в размерностях 4, 6, 7, 8 можно получить отображения из гиперболических многообразий в окружность, которые индуцируют эпиморфизм фундаментальной группы в целые числа, ядро которого конечнопорождено.
4 декабря 2023 (понедельник), 17:30, ОЧНО в ауд.310 и
дистанционно.
Докладчик: Георгий Сергеевич Черных
Тема: Жёсткость эквивариантных родов на маломерных образующих кольца SU-бордизмов
Аннотация:
В докладе я расскажу вообще о жёсткости эквивариантных родов на многообразиях с действием тора, о том, что род Кричевера жёсток на всех SU-многообразиях и о том, когда из жёсткости рода на некоторых конкретных маломерных SU-многообразиях можно сделать вывод, что он является родом Кричевера, и значит, жёсток на всех SU-многообразиях.
27 ноября 2023 (понедельник), 17:30, ОЧНО в ауд.310 и
дистанционно.
Докладчик: Владислав Александрович Грауман
Тема: A_∞-структуры и соотношения в рациональных алгебрах Понтрягина
Аннотация:
В торической топологии одним из важных вопросов является описание соотношений в алгебрах Понтрягина момент-угол комплексов. В частности, когда вычислены некоторые соотношения, имеется проблема доказательства отсутствия других соотношений, не следующих из уже имеющихся. Как правило, ранее это удавалось сделать лишь для простых примеров полным обсчётом явной алгебраической модели пространства. Этот доклад будет посвящен результатам 2021–2022 годов о связи некоторой высшей структуры на гомологиях пространства и соотношений в его алгебрах Понтрягина в случае рациональных коэффициентов. Общий подход мы проиллюстрируем на примере рационально неформальных момент-угол комплексов, описанных в работах Грбич—Линтон.
20 ноября 2023 (понедельник), 17:30, ОЧНО в ауд.310 и
дистанционно.
Докладчик: Фёдор Евгеньевич Вылегжанин
Тема: Образующие и соотношения в гомологиях петель момент-угол комплексов
Аннотация:
Гомологии петель пространства Дэвиса-Янушкевича — свободный модуль над своей подалгеброй, изоморфной гомологиям петель соответствующего момент-угол комплекса. В ряде случаев объемлющая алгебра известна (см. предыдущий доклад). Я опишу общий метод, как в такой ситуации получить информацию о копредставлении подалгебры.
Для комплексов, близких к флаговым, будет указан явный минимальный набор образующих для гомологий петель момент-угол комплекса, количество соотношений и схема их вычисления. Если хватит времени, мы обсудим случай квазиторических многообразий.
30 октября 2023 (понедельник), 17:30, ОЧНО в ауд.310 и
дистанционно.
Докладчик: Фёдор Евгеньевич Вылегжанин
Тема: Гомологии петель пространств Дэвиса-Янушкевича
Аннотация:
Объект из названия доклада — мультиградуированная ассоциативная алгебра, изоморфная Ext-алгебре кольца Стэнли-Райснера. Мы изучаем способы задать её однородными образующими и соотношениями.
Я сформулирую свои прошлогодние результаты (ограничения на градуировки образующих и соотношений, сведение к случаю смежностных комплексов) и расскажу про новые продвижения в этой области: тождества Грбич-Симмонса-Стэнифорта и описание таблицы умножения в малых градуировках.
9 октября 2023 (понедельник), 17:30, ОЧНО в ауд.310 и
дистанционно.
Докладчик: Темурбек Рахматуллаев
Тема: $2$-ограниченные присоединенные алгебры Ли прямоугольных групп Кокстера
Аннотация:
Предварительно я постараюсь продемонстрировать связь задачи описания присоединенной алгебры Ли для прямоугольных групп Кокстера с торической топологией, основная же часть доклада будет посвящена явному описанию 2-ограниченной версии присоединенной алгебры Ли для прямоугольных групп Кокстера.
Для этого будут введен 2-ограниченный аналог нижних центральных рядов, коротко описаны свойства ассоциированной алгебры -- 2-ограниченной алгебры Ли. Одним из ключевых используемых результатов является результат Квиллена, связывающий универсальную обертывающую 2-ограниченной алгебры Ли с градуированным кольцом группового кольца.
Полученная теория использована в разделе 6 для доказательства изоморфизма 2-ограниченной присоединенной алгебры Ли группы Кокстера с 2-граф алгеброй Ли
Следствием данного изоморфизма в случае флаговых комплексов $\K$ является связь фундаментальной группы полиэдральной степени вещественного бесконечномерного проективного пространства с алгеброй Понтрягина полиэдральной степени комплексного бесконечномерного проективного пространства
2 октября 2023 (понедельник), 17:30, ОЧНО в ауд.310 и
дистанционно.
Докладчик: Всеволод Аркадьевич Триль
Тема: Топология дополнений к конфигурациям диагональных подпространств
Аннотация:
Дополнения к конфигурации диагональных подпространств являются обобщением конфигурационных пространств частиц из R или C. Такие дополнения имеют связь с дополнениями к координатным конфигурациям, что позволяет изучать их методами торической топологии. В докладе я построю класс симплициальных комплексов, для которых соответствующие диагональные дополнения гомотопически эквивалентны момент-угол комплексам, и расскажу о пространствах «без k равных координат». Также я дам обзор результатов Добринской о взаимосвязи гомологий диагональных дополнений и гомологий пространств петель полиэдральных произведений.
25 сентября 2023 (понедельник), 17:30, ОЧНО в ауд.310 и
дистанционно.
Докладчик: Михаил Николаевич Шенгелия
Тема: Конус обильных дивизоров на торическом многообразии, двойственность Гейла и нормальные вееры (часть 2)
Аннотация:
В докладе будет рассмотрено описание в терминах линейной двойственности Гейла Nef-конуса (конуса численно эффективных дивизоров) торического многообразия. При незначительных ограничениях на веер, задающий многообразие, численная эквивалентность равносильна линейной эквивалентности, а Nef-конус натянут на обильные классы и классы без базисных точек в группе Пикара. С помощью двойственности Гейла этот конус выражается через конфигурацию лучей веера многообразия. Полученное описание хорошо стыкуется с критерием нормальности веера (необязательно рационального). Планируется напоминание фактов и конструкций из торической геометрии.
18 сентября 2023 (понедельник), 17:30, ОЧНО в ауд.310 и
дистанционно.
Докладчик: Михаил Николаевич Шенгелия
Тема: Конус обильных дивизоров на торическом многообразии, двойственность Гейла и нормальные вееры
Аннотация:
В докладе будет рассмотрено описание в терминах линейной двойственности Гейла Nef-конуса (конуса численно эффективных дивизоров) торического многообразия. При незначительных ограничениях на веер, задающий многообразие, численная эквивалентность равносильна линейной эквивалентности, а Nef-конус натянут на обильные классы и классы без базисных точек в группе Пикара. С помощью двойственности Гейла этот конус выражается через конфигурацию лучей веера многообразия. Полученное описание хорошо стыкуется с критерием нормальности веера (необязательно рационального). Планируется напоминание фактов и конструкций из торической геометрии.
29 мая 2023 (понедельник), 17:30, ОЧНО в ауд.310 и
дистанционно.
Докладчик: Д.А. Цыганков
Тема: Кольца когомологий гиперболических многообразий типа Лёбелля
Аннотация:
При помощи склеек компактных многогранников, которые допускают реализацию с прямыми углами в пространстве Лобачевского, получаются многообразия типа Лёбелля. Они являются факторами вещественных момент-угол многообразий по свободному действию группы (Z_2)^k. Я расскажу, что происходит в случае склейки некомпактных (часть вершин на абсолюте) многогранников конечного объёма с прямыми углами в L^n: 1)Многообразия типа Лёбелля гомотопически эквивалентны фактору R_{K_P}/H, где K_P нерв-комплекс многогранника P — это тот же многогранник, из копий которого клеилось многообразие; Н изоморфно (Z_2)^k. Можно представить многообразие типа Лёбелля в виде гомотопического копредела некоторой диаграммы, а затем связать такое представление с категорными свойствами R_{K_P}. 2)Эффективно (как факторкольцо многочленов по идеалу) вычислены кольца Z_2-когомологий многообразий типа Лёбелля в случае, когда свободно действующий тор H имеет максимально возможную размерность (аналог малых накрытий), а у P либо одна идеальная вершина, либо все идеальны. 3)Если идеальная вершина не одна и идеальны не все вершины, то удается посчитать кольцо Z_2-когомологий лишь у многообразия, из которого удалили некоторое (известное) количество точек — эти сложности возникают потому, что в таком случае нет Коэн-Маколеевости нерв-комплекса K_Р
22 мая 2023 (понедельник), 17:30, ОЧНО в ауд.310 и
дистанционно.
Докладчик: Ф.Е. Вылегжанин
Тема: Высшие операции в когомологиях пространств с действием тора
(часть II)
Аннотация:
Пусть тор T непрерывно действует на топологическом пространстве X. "Прокручивания вдоль координатных окружностей" задают набор дифференцирований на коцепном комплексе для X. Это позволяет построить ряд высших когомологических операций в когомологиях X. Горески, Коттвиц и Макферсон связали эти операции с дифференциалами в спектральной последовательности расслоения X -> X_T -> BT. Таким образом, они являются препятствиями к эквивариантной формальности.
Я дам обзор результатов Горески,Коттвица,МакФерсона и Франца (для произвольных действий), а также Амелотта,Бриггса (для стандартного действия тора на момент-угол комплексе). Также я объясню связь с двойными когомологиями момент-угол комплексов в смысле Лимонченко,Панова,Сонга,Стэнли
15 мая 2023 (понедельник), 17:30, ОЧНО в ауд.310 и
дистанционно.
Докладчик: Ф.Е. Вылегжанин
Тема: Высшие операции в когомологиях пространств с действием тора
Аннотация:
Пусть тор T непрерывно действует на топологическом пространстве X. "Прокручивания вдоль координатных окружностей" задают набор дифференцирований на коцепном комплексе для X. Это позволяет построить ряд высших когомологических операций в когомологиях X. Горески, Коттвиц и Макферсон связали эти операции с дифференциалами в спектральной последовательности расслоения X -> X_T -> BT. Таким образом, они являются препятствиями к эквивариантной формальности.
Я дам обзор результатов Горески,Коттвица,МакФерсона и Франца (для произвольных действий), а также Амелотта,Бриггса (для стандартного действия тора на момент-угол комплексе). Также я объясню связь с двойными когомологиями момент-угол комплексов в смысле Лимонченко,Панова,Сонга,Стэнли
17 апреля 2023 (понедельник), 17:30, ОЧНО в ауд.310 и
дистанционно.
Докладчик: Г.С. Черных
Тема: SU-многообразия с действием окружности, с_1-сферические бордизмы и род Кричевера
Аннотация:
Я расскажу о маломерных образующих SU-бордизмов с действием тора, образующих в с_1-сферических бордизмах и их связи с родом Кричевера.
3 апреля 2023 (понедельник), 17:30, ОЧНО в ауд.310 и
дистанционно.
Докладчик: В.А. Грауман
Тема: A_∞-обогащения спектральных последовательностей
Аннотация:
Классическая теорема Кадеишвили утверждает существование структуры A_∞-алгебры на когомологиях H(A) DG-алгебры A такой, что A становится A_∞-квазиизоморфной H(A) с этой структурой. Так как в мульпликативных спектральных последовательностях при переходе от одного листа к последующему берутся когомологии DG-алгебр, возникает естественный вопрос о взаимосвязи спектральных последовательностей с высшими гомотопическими структурами. В литературе эта проблема получила относительно скромное внимание. Первая конструкция подобного рода была рассмотрена С. В. Лапиным, однако он не дал никакого строгого определения A_∞-обогащений. Оно позднее было разработано в работе E. Herscovich, " A_∞-algebras, spectral sequences and exact couples" на основе биградуированных деформаций A_∞-алгебр. В докладе будет дан обзор этой работы. В качестве основного примера A_∞-обогащений, как показал Herscovich, выступают последовательности, ассоциированные с фильтрованными A_∞-алгебрами.
27 марта 2023 (понедельник), 17:30, ОЧНО в ауд.310 и
дистанционно.
Докладчик: Т.Е. Панов
Тема: Двойные когомологии момент-угол-комплексов, биградуированные бар-коды и стабильность
Аннотация:
Я расскажу о совместном проекте с A.Bahri, И.Лимонченко, J.Song и D.Stanley.
В докладе мы обсудим модули устойчивости (persistence modules), происходящие из двойных гомологий и их свойства стабильности.
На биградуированных когомологиях момент-угол-комплекса Z_K имеется структура коцепного комплекса CH*(Z_K), получаемая введением нового дифференциала d' в разложении Хохстера Tor-алгебры кольца граней симплициального комплекса K. Когомологии комплекса CH*(Z_K) называются двойными когомологиями, HH*(Z_K). Их можно отождествить со вторыми двойными когомологиями бикомплекса, получаемого введением второго дифферениала d' в комплекс Косюля кольца граней K.
Двойные гомологии HH*(Z_K) также представляют интерес с точки зрения устойчивых гомологий и других модулей устойчивости (persistence modules) в топологическом анализе данных. Двойные устойчивые гомологии и соответствующие им биградуированные бар-коды обладают свойством устойчивости отностительно метрики Громова-Хаусдорффа и метрики Вассерштейна на бар-кодах, в отличие от обычных биградуированных устойчивых гомологий момент-угол-комплексов.
20 марта семинара НЕ будет, следующий семинар БУДЕТ 27 марта.
13 марта 2023 (понедельник), 17:30, ОЧНО в ауд.310 и
дистанционно.
Докладчик: Т.Е. Панов
Тема: Двойные когомологии момент-угол-комплексов, биградуированные бар-коды и стабильность
Аннотация:
Я расскажу о совместном проекте с A.Bahri, И.Лимонченко, J.Song и D.Stanley.
На биградуированных когомологиях момент-угол-комплекса Z_K имеется структура коцепного комплекса CH*(Z_K), получаемая введением нового дифференциала d' в разложении Хохстера Tor-алгебры кольца граней симплициального комплекса K. Когомологии комплекса CH*(Z_K) называются двойными когомологиями, HH*(Z_K). Их можно отождествить со вторыми двойными когомологиями бикомплекса, получаемого введением второго дифферениала d' в комплекс Косюля кольца граней K.
Двойные гомологии HH*(Z_K) также представляют интерес с точки зрения устойчивых гомологий и других модулей устойчивости (persistence modules) в топологическом анализе данных. Двойные устойчивые гомологии и соответствующие им биградуированные бар-коды обладают свойством устойчивости отностительно метрики Громова-Хаусдорффа и метрики Вассерштейна на бар-кодах, в отличие от обычных биградуированных устойчивых гомологий момент-угол-комплексов. Об этом пойдёт речь во второй части доклада.