А.Глуцюк

Одномерная голоморфная динамика (весна 1997)

Это продолжение спецкурса о динамике рациональных преобразований сферы Римана, прочитанного осенью 1996 г. Будет рассказано о недавних результатах и открытых задачах о локальной динамике ростков конформных отображений. Кроме этого будет рассказано об известных результатах о динамике аналитических семейств рациональных функций (включая результаты самых последних лет), а также об открытых задачах в этой области.

Локальная динамика. Известно, что всякий росток конформного отображения $(C,0)\to (C,0)$ в неподвижной точке с ненулевым мультипликатором, не лежащим на единичной окружности, аналитически линеаризуется (сопряжен с умножение на мультипликатор). С другой стороны, ростки с мультипликатором, равным 1 по модулю, вообще говоря, аналитически неэквивалентны. В то же время, все ростки вида $z\mapsto z+z^p+\dots$ топологически сопряжены. В 1980-х гг. Экалль и Воронин независимо получили полную аналитическую классификацию таких ростков. Имеется также аналогичная классификация ростков, мультипликаторы которых имеют рациональные аргументы.

В случае, когда мультипликатор равен по модулю 1 и имеет иррациональный аргумент, росток формально сопряжен с линейным (в смысле рядов Тейлора). Однако, сопрягающий формальный ряд может расходиться. Вопрос о сходимости сопрягающего ряда исследовался Зигелем, Колмогоровым, Арнольдом, Брюно и др. В работах Зигеля и Брюно были получены диофантовы условия на мультипликатор, гарантирующие линеаризуемость ростка. Описание мультипликаторов, гарантирующих линеаризуемость, было недавно завершено Йоккозом.

Динамика семейств рациональных функций. Имеется класс рациональных преобразований сферы Римана, динамика которых хорошо изучена. Это - преобразования, удовлетворяющие аксиоме А, т.е., у которых орбиты критических точек сходятся к притягивающим циклам. Они образуют открытое подмножество пространства рациональных функций фиксированной степени.

Одна из основных гипотез о динамике семейств рациональных функций состоит в том, что в естественных аналитических семействах рациональных функций (напр. семейство всех рациональных функций данной степени) аксиома А - свойство общего положения. В частности, утверждение этой гипотезы дает комбинаторное описание и алгоритм построения множества Мандельброта, т.е., бифуркационной диаграммы для семейства квадратичных многочленов.

Программа

Локальная динамика ростков $z\mapsto z+z^p+\dots$. Модули Экалля - Воронина. Топологическая и аналитическая классификации.
Ростки $z\mapsto e^{2\pi i \alpha}z+\dots$, $\alpha\notin\Bbb Q$. Доказательство теоремы Зигеля. Теорема Йоккоза. Гипотеза Арнольда о материализации резонансов.
Итерации полиномов. Внешние лучи множества Жюлиа. Приземление "рациональных" внешних лучей. Множество Мандельброта. Гиперболические компоненты.
Рациональные отображения, удовлетворяющие аксиоме А. Символическая динамика на множестве Жюлиа. Мера и Хаусдорфова размерность множества Жюлиа.
Структурная и $J$- устойчивость рационального преобразования. Структурная устойчивость -- свойство общего положения. Связь с аксиомой А. Критерий $J$- устойчивости в терминах критических точек. Пример: семейство $f_w:z\mapsto1+wz^{-2}$.
Классы квазиконформной сопряженности и пространства Тейхмюллера. Теорема Манье -- Сада -- Сулливана о связи $J$- устойчивости и аксиомы А.
Множество Мандельброта. Доказательство теоремы Дуади -- Хаббарда о параметризации главной гиперболической компоненты мультипликатором притягивающего цикла. Связность множества Мандельброта. Бифуркации. Гипотезы о гиперболических компонентах и локальной связности множества Мандельброта.
Гиперболические компоненты в пространстве полиномальных отображений. Теорема Милнора о том, что каждая гиперболическая компонента содержит критически конечный многочлен. Комбинаторное описание критически-конечных многочленов.
Вещественные квадратичные полиномы. Локальная связность множества Жюлиа в случае, когда орбита критической точки ограничена. Ренормализуемые полиномы. Теорема Любича об отсутствии диких аттракторов. Теоремы Свьонтека -- Любича о плотности множества гиперболических вещественных квадратичных полиномов и о грубости.

Список литературы

Любич М.Ю. Динамика рациональных преобразований: топологическая картина. -- УМН, т.41, вып.4 (1986), стр.35-95.
Carleson L. Complex Dynamics. -- Notes of a course given at UCLA, winter 1990.
J.-C.Yoccoz. Polynomes quadratiques et l'attracteur de Henon. -- Seminaire Bourbaki, 1990-1991, No 734.
Poirier A. On postcritically finite polynomials, 1, 2, -- preprints No 1993/5,7 SUNY StonyBrook.
van Strien S. Real bounds in Complex Dynamics. -- Proc. of the NATO ASI on Real and Complex Dynamical Systems (Ed. by B.Branner and P.Hjorth), Hillerod, Denmark, June 20 -- July 2, 1993.
Lyubich M. Dynamics of Quadratic Polynomials, 1. Combinatorics and Geometry of Yoccoz Puzzle, -- preprint MSRI, Berkeley, No 026-95.
Lyubich M. Dynamics of quadratic polynomials, 2. Rigidity, -- preprint No 1995/14 SUNY StonyBrook.
Shishikura M. The parabolic bifurcation of rational maps, -- Coloquio Brasileiro de Matematica 19, IMPA.
Milnor J. Hyperbolic Components in Spaces of Polynomial Maps (with an appendix by A.Poirier), -- preprint No 1992/3.