На главную страницу НМУ

Евгений Юрьевич Смирнов

Комбинаторика

Спецкурс с семинарами (лекции — Е.Ю.Смирнов, семинары — Г.А.Мерзон, А.А.Авилов, Д.Р.Гайфулин, И.С.Думанский, Е.А.Македонский).

Курс рассчитан на студентов 1-2 курса.

Цель курса — собрать воедино сюжеты из комбинаторики, которые входят в джентльменский набор математика, но при этом часто проваливаются в щели между различными курсами (алгебры, анализа, дискретной математики, теории чисел...)

Видеозаписи лекций

Последняя лекция прошла 23 апреля.

Экзамен (домашний письменный) выложен 29 апреля.
Для сдачи курса необходимо сдать экзамен и получить зачет (в любом порядке).
У тех, кто сдаст экзамен, будет возможность продолжить сдавать задачи листков (и получить зачет) и после экзамена.

Записки лекций

[ лекция 7 (слайды) | лекция 8 (слайды) | лекция 9 (слайды) | лекция 10 (слайды) | лекция 11 (слайды) ]

Листки

[ 1. Треугольник Паскаля и треугольник Стирлинга | 2. Рациональные функции и линейные рекурренты ]
[ 3. Разбиения и q-бином | 4. Числа Каталана и их родственники | 5+. Числа Бернулли, змеи, дзета-функция ]
[ 6. Определители в комбинаторике (часть 1) | 7. Деревья и уравнения | 8. Определители в комбинаторике (часть 2) ]

Программа курса:

  1. Производящие функции. Рациональные производящие функции и линейные рекурренты.
  2. Разбиения. Производящая функция Эйлера для диаграмм Юнга. Пентагональная теорема Эйлера.
  3. q-треугольник Паскаля и q-биномиальные коэффициенты. Тройное тождество Якоби, другое доказательство пентагональной теоремы Эйлера.
  4. Числа Каталана, Шрёдера и Моцкина.
  5. Экспоненциальные производящие функции. Ряд Тодда, числа Бернулли и суммы степеней последовательных чисел.
  6. Формула обращения Лагранжа и перечисление деревьев.
  7. Производящие функции Дирихле. Мультипликативные последовательности.
  8. Фризы, цепные дроби и континуанты.
  9. Комбинаторные доказательства детерминантных тождеств. Тождества Бине-Коши и Льюиса Кэрролла.
  10. Замощения доминошками и ромбами. Ацтекский бриллиант и формула Макмагона. Конденсация.