На главную страницу НМУ

Евгений Юрьевич Смирнов, Николай Владимирович Богачёв

Группы отражений

(лекции -- Евгений Юрьевич Смирнов, семинары -- Николай Владимирович Богачёв)

17 сентября курс пройдёт дистанционно!
Лекция доступна по ссылке, семинар в 19:00 по ссылке skoltech-ru.zoom.us/j/99691712309, пароль: "первые шесть цифр числа пи начиная с 3".

Спецкурс с семинарами рекомендован для 2-4 курсов.
Читается очно (и дистанционно) по четвергам, начиная с 10 сентября (17:20, ауд.304).

Программа курса

  1. Системы корней. Конечные группы, порожденные отражениями. Простые и положительные корни. Порожденность группы отражений отражениями относительно простых корней.

  2. Фундаментальная область. Камера Вейля. Группы отражений и замощения (калейдоскопы) на сфере.

  3. Группы отражений как группы Кокстера. Соотношения Кокстера. Функция длины. Условие сокращения и условие замены. Элемент максимальной длины.

  4. Классификация систем корней. Графы Кокстера. Классификация положительно определенных и положительно полуопределенных графов Кокстера. Подграфы. Теорема Перрона-Фробениуса.

  5. Кристаллографические системы корней. Схемы Дынкина. Решетки корней, кокорней, весов и ковесов.

  6. Явные конструкции систем корней. Системы корней в R^4 и кватернионы. Конструкции исключительных систем корней.

  7. Группы симметрий правильных многогранников как группы отражений. Символ Шлефли.

  8. Псевдоотражения. Теорема Шевалле-Шепарда-Тодда о группах со свободной алгеброй инвариантов.

  9. Базисные инварианты, набор степеней группы отражений.

Приблизительный список тем, которые будут обсуждаться на семинарах:

  1. Системы Геометрия Лобачевского - модели, группы движений, выпуклые многогранники.

  2. Дискретные группы движений и их фундаментальные области.

  3. Правильные многогранники и замощения плоскостей E^2, S^2, H^2. Группа PSL(2,Z).

  4. Группы Федорова - классификация.

  5. Группы отражений и абстрактные группы Кокстера. Линейные представления групп Кокстера. Конус Титса. Проблема тождества слов в группах Кокстера.